Fractales - Un Mapa al Universo
Los fractales son extraordinariamente hermosos.
Sus rizos perfectos e hipnóticos son tan atractivos que se han colado en la cultura popular, decorando textiles, poleras, libros, calendarios, tazones, tarjetas de felicitación, pósters, salvapantallas y cualquier producto imaginable.
Y sin embargo, a pesar de su belleza, los fractales no son creaciones de genio artístico, sino pura matemática.
Mas allá de su innegable encanto estético, los fractales son complejas ecuaciones matemáticas que también tienen usos prácticos, tanto en la ciencia como en la vida diaria.
Pero los fractales no son sólo construcciones nacidas de las matemáticas - son ecuaciones para medir y describir lo que ya existe a nuestro alrededor. Un hecho no descubierto del todo sino hasta mediados de 1970.
Y todo empezó con Monstruos...
En 1958, la naciente compañía de computación IBM tenía un problema técnico que confundía hasta sus ingenieros más brillantes.
Durante esos primeros años de la computación, los ingenieros de IBM trataban de enviar datos a través de cables telefónicos (una técnica visionaria que más tarde daría paso al Fax e Internet), pero los datos enviados a veces se perdían y nadie podía entender por qué, o cómo podían resolver este problema.
El matemático polaco Benoit Mandelbrot tomó todos los datos recolectados de estos intentos, y los graficó. Increíblemente, encontró que, sin importar el lapso de tiempo que escogiése (1 hora, 1 minuto, 1 segundo), la imágen del gráfico era virtualmente la misma. Este increíble resultado le recordó antiguas paradojas matemáticas llamadas “Monstruos”.
Estos eran ecuaciones matemáticas de números complejos que producían resultados extraños e inesperados.
En1883, el matemático alemán Georg Canter produjo el primero de éstos monstruos, cuando decidió dividir una línea en tres partes iguales, quitando la parte del medio y repitiendo el mismo proceso con cada línea consecutiva.
A ésto le llamó el “Conjunto de Canter”, y se parecía mucho a los gráficos obtenidos por Mandelbrot en IBM.
Aunque en términos visuales el experimento de Canter terminaría después de unos cuantos cortes y subdivisiones, en términos matemáticos la experiencia es infinita - es decir, uno podría seguir por siempre subdividiendo la línea inicial en trozos cada vez más pequeños.
En 1904, el matemático sueco Helge von Koch creó otro monstruo, en lo que vino a llamarse la “Curva de Koch”o, más popularmente, el “Copo de Nieve de Koch”.
Koch empezó con un triángulo equilátero, al cual añadió dos ángulos en cada línea recta, repitiendo éste proceso una y otra vez. Dondequiera que hubiése una línea recta, añadiría dos ángulos.
Una vez más, aunque visualmente podríamos detener el proceso luego de unas cuantas repeticiones, matemáticamente el proceso puede seguir indefinidamente.
Lo que es aún más intrigante de esta construcción es que, aunque parece como una construcción finita (un ‘copo de nieve’ terminado), y su área puede ser determinada, su perímetro es infinito.
Sin embargo, estas rarezas no eran más que meras curiosidades sin uso práctico, hasta 1967, cuando Benoit Mandelbrot publicó un estudio científico hoy famoso, con una pregunta aparentemente simple: ¿Qué tan larga es la costa de Gran Bretaña?
Fácil, uno podría pensar. Simplemente se toman suficientes mediciones topográficas y se tendrá la respuesta, ¿verdad?
El problema que Mandelbrot presentó, sin embargo, era que no parecía haber una sola respuesta satisfactoria a ésta pregunta. Cada medición hecha en el pasado había otorgado una respuesta diferente, dependiendo del método de medición utilizado.
Aún más - mientras más detallado era el método de medición (midiendo cada detalle de la costa en vez de realizar una aproximación) daba como resultado un área mucho más grande. ¿Cómo era posible? ¿Acaso una costa no es un espacio físicamente definido por un área finita? Incluso si hubieran diferencias, el área general debería ser más o menos la misma.
Todos éstos misterios ya pesaban en la mente de Mandelbrot al verse enfrentado al problema de IBM, así es que decidió enfocarse en ésta paradojas matemáticas en profundidad.
En 1975 publicó el fruto de sus estudios: “Fractales, Forma, Azar y Dimensión”. En éste volúmen renombró a estas paradojas matemáticas como ‘fractales’(del Latín ‘Fractus’, fracturado).
Los fractales, explicó Mandelbrot, eran curvas que eran irregulares en toda su superficie, y que presentaban el mismo grado de irregularidad a cualquier escala.
Mandelbrot también presentó una construcción matemática nueva, basada en una construcción más antigua creada por el matemático francés Gastón Julia.
La construcción propuesta por Julia en 1918 - llamada “Conjunto Julia”- era, en términos muy simples, una fórmula en la que se entra un número complejo, se calcula el resultado, y se entra éste resultado en la fórmula. Como en los anteriores “monstruos”, el proceso se repite una y otra vez.
Dependiendo del valor del número entrado, la fórmula dará como resultado una forma diferente al graficarse.
En 1978, ayudado por la nueva tecnología de la computación, Mandelbrot creó una nueva ecuación combinando todos los conjuntos Julia, y empezó a calcular millones de reiteraciones, graficándolas en una sola imágen.
El resultado fue increíblemente hermoso, complejo e infinito. Se llamó el “Conjunto Mandelbrot”.
Tal como sus predecesores, el conjunto Mandelbrot contiene infinitas repeticiones de sí mismo en perfecto detalle, avanzando hacia una progresión infinita que comienza donde terminó, y continúa sin fin.
El mundo estaba encantado.
Pero no todos los científicos estaban convencidos de las afirmaciones de Mandelbrot. Muchos no veían ningún uso práctico para sus hallazgos. Los fractales, decían, eran “muy bonitos, pero muy inútiles”.
Sin darse por vencido, en 1982 Mandelbrot publicó un segundo libro: “La Geometría Fractal de la Naturaleza”. En éste postulaba con ejemplos visuales claros, que los fractales no era meras ‘rarezas’ matemáticas, sino que abundaban en la naturaleza: en ríos, nubes, árboles, helechos, el sistema venoso, cadenas montañosas, relámpagos, bordes costeros, y mucho más.
De hecho, si tomamos un árbol como ejemplo, y hacemos un acercamiento a más y más detalle, notaremos que el ‘diseño’ original del árbol se repite una y otra vez, desde su tamaño total, hasta sus ramas y raíces e incluso hasta las venas de sus hojas más pequeñas.
Lo mismo ocurre con un brócoli: si tomamos una cabeza de brócoli y la partimos en dos, y continuamos cortándola en pedazos más y más pequeños, veremos que hasta el más pequeño se asemeja al ‘diseño’ inicial de el brócoli entero.
Estas copias interminables (llamadas “iteraciones”) están en el corazón de la geometría fractal.
Esta nueva perspectiva forzó a los matemáticos de todo el mundo a repensar el uso de la geometría Euclediana tradicional aplicada al mundo natural.
Los fractales son simples, económicos y eficientes, tres atributos privilegiados por la naturaleza, lo cual explica su abundancia. Pero, ¿existen usos prácticos para ésta ‘Magia Fractal’?
En 1915, el matemático polaco Waclaw Sierpinski creó un fractal simple comenzando con un triángulo equilátero, del cual tomó un triángulo equilátero de su centro. Entonces continuó sustrayendo triángulos equiláteros del centro de cada nuevo triángulo formado, repitiendo el proceso una y otra vez.
Una construcción similar es la Alfombra Sierpinski, en la cual el triángulo es remplazado por un cuadrado, siguiendo el mismo proceso.
Primeras 5 iteraciones de la Alfombra Sierpinski
Sierpinski también creó la Curva Sierpinski, una secuencia definida de curvas fractales:
‘Bonito, pero inútil’, puede que piensen.
Ahora, vean éstas antenas de telecomunicaciones - ¿notan algo familiar?
En 1990, el radioastrónomo Nathan Cohen asistía a una charla sobre fractales dictada por Mandelbrot en Hungría. Un aficionado de la radio Ham (también llamada radio amateur), Cohen tenía un problema: su casero no le dejaba conectar una antena a su departamento. Pero durante la charla de Mandelbrot, una idea cruzó su mente: ¿qué pasaría si aplicaba la teoría fractal a una antena de radio?
Cohen experimentó con una versión hecha a mano, semejante a la Curva de Koch, y el resultado fue increíble. Tenía la recepción de una antena mucho más grande a una fracción de su tamaño. Cohen había creado la primera antena fractal de la historia, y su problema estaba resuelto.
Sin embargo, con la creciente popularización de los celulares, blue tooths, wi-fi y telecomunicaciones sin cables, el problema de Cohen se volvió el problema de todo el mundo: ¿Cómo garantizar una recepción clara en todos los aparatos portables sin utilizar una antena diferente para cada frecuencia de radio?
La respuesta era: fractales.
De hecho, los cálculos matemáticos han confirmado que los fractales no son sólo una forma de resolver este problema, sino la única forma de resolverlo.
Hoy en día, las antenas fractales incluso están siendo desarrolladas en tres dimensiones para amplificar su potencia, tales como la Esponja de Menger, una construcción concebida por el matemático alemán Karl Menger en 1926, basada en la Alfombra Sierpinski.
Curiosamente, los patrones fractales también han aparecido en antiguos diseños a través de todo el mundo, con frecuencia miles de años antes de que se desarrollara la matemática para producirlos por medio de ecuaciones.
Además de su uso en telecomunicaciones, la ciencia fractal se está aplicando a diversidad de áreas, tales como física, geología, meteorología, astronomía, ingeniería, ciencias de la computación, arquitectura, las artes visuales, música, economía, el mercado de valores, etc. De hecho, apenas hemos comenzado a descubrir el potencial de la ciencia fractal en nuestras vidas.
Por ejemplo, los ingenieros han diseñado enfriadores fractales para líquidos frágiles, y mezcladores fractales para líquidos que requieren mezclas de precisión extrema (como en la industria petrolera). Los fractales también están siendo estudiados en arquitectura para incrementar la eficiencia en el diseño y planeación de las ciudades.
En medicina, los sistemas fractales trabajan junto a programas de imagenología (como los escáners de resonancia magnética) para diferenciar con precisión células sanas y enfermas en tejido complejo, algo de vital importancia en la detección y tratamiento de enfermedades como el cáncer.
Otros usos médicos incluyen genética, anatomía, morfología, etc. para cuantificar, describir y diagnosticar condiciones tales como arritmia, retinopatía diabética, problemas de los sistemas neuronales, y más.
Los fractales se usan de manera amplia en los gráficos computarizados desde 1978, cuando Loren Carpenter creó la primera cadena montañosa computarizada para las empresas Boeing, seguida en 1982 por la primera secuencia de GCI realizada para una película, en “Viaje a las Estrellas II: La venganza de Khan”.
Desde texturas de pelo hasta paisajes detallados, básicamente cualquier construcción que requiera infinitas capas de repetición - tales como las erupciones de lava en “Star Wars: La Venganza del Sith”- aplican cálculos fractales.
La geometría fractal se usa ampliamente en ciencias de la computación, y la compresión fractal de imágenes es una de las herramientas más populares, dado que las imágenes retienen el mismo nivel de detalle en cualquier tamaño.
De igual forma, dado que los fractales se usan para describir la rugosidad de una superficie, son extremadamente útiles en geología, topología y en el estudio y desarrollo de nuevos materiales.
En astronomía, la idea -aún en desarrollo- de que todo el universo pueda ser fractal, forzaría a los astrofísicos a reconsiderar todas sus teorías hasta la fecha, incluyendo el Big Bang.
Los fractales incluso podrían proveer la clave para uno de los misterios más desconcertantes del universo: la teoría del caos. El estudio del caos y los fractales es un nuevo campo que une matemáticas, física teórica, arte y ciencias de la computación, y puede abrir la puerta a toda una nueva ciencia.
Video - Fun With Fractals (5:03)
https://youtu.be/XwWyTts06tU
Es un concepto común que la ciencia y el arte son mutuamente excluyentes, pero los fractales combinan lo mejor de ambos mundos.
Tal vez debido a su naturaleza intrísicamente visual, los fractales nos revelan a todos lo que los matemáticos han estado diciendo por siglos, como si se tratara de un fantasma que sólo ellos pueden ver: las matemáticas son hermosas. Y las fórmulas matemáticas son sólo la expresión numérica de todo el maravilloso universo que nos rodea.
¿Sabían que...?
¿Sabían que existen fractales en tres dimensiones? Los Mandelbulbs son construcciones matemáticas, manifestaciones de la ecuación de Mandelbrot en tres dimensiones.
Aunque no existe un análogo en tres dimensiones para el espacio bidimensional de los números complejos (necesarios para construir un fractal), es posible construir un conjunto mandelbrot en cuatro dimensiones utilizando números bicomplejos y cuaterniones (ambos extensiones de los números complejos) aplicados a diferentes fórmulas.
El primer Mandelbulb fue creado en 1997 por Jules Ruis, y éste fue más tarde desarrollado por Daniel White y Paul Nylander. En el 2010, Tom Lowe añadió otra construcción con el Mandelbox, y al mismo tiempo que las capacidades de nuestros equipos evolucionan, también lo hace el rango de objetos fractales que podemos crear.
Tal como sus originadores bidimensionales, los Mandelbulbs son fascinantes de ver, tal como lo demuestra éste video: https://www.youtube.com/shorts/f8ek83Z9SFo
Para Saber Más...
¿Quieren más fractales? Visiten esta página, de la que pueden hacerse miembros para mantenerse informados de lo último en diseños fractales tridimensionales, ¡e incluso encontrar tutoriales para crear sus propios fractales!: https://www.mandelbulb.com/
Artículos Relacionados
Si disfrutaste este artículo, considera Compartirlo, o Subscríbete para recibir artículos similares una vez al mes en tu casilla de correo electrónico.
Fuentes: Libro: “Complexification: Explaining a Paradoxical World Through the Science of Surprise” por John L. Casti (Harper Perennial); NOVA Documental: Fractals, The Hidden Dimension; Fractal Foundation.org, Encyclopediaofmath.org, Mathigon.org, Chemnitz University, Wikipedia.
Comments
Post a Comment